MATEMATYKA BEZ GRANIC - EDYCJA 2002/2003

ZADANIA TRENINGOWE:

• Für jede Aufgabe, auch für die nicht bearbeiteten, ist ein gesondertes Lösungsblatt abzugeben.
• Bei Aufgabe 3, 6, 10, 11, 12 und 13 muss die Lösung begründet oder erläutert werden.
• Die Sorgfalt der Ausführung wird mitbewertet.
• Auch Teillösungen werden berücksichtigt.

Zadanie 1

7 punktów

Zadanie 2

5 punktów

W tradycyjnej kostce do gry suma oczek na przeciwległych ścianach wynosi 7.
Jak widać na rysunku po lewej stronie, w ten sposób na kostce można rozmieścić oczka na różne sposoby.
Zaznacz na siatce kostki wszystkie możliwe rozmieszczenia oczek.

Zadanie 3 - Nie pędź

7 punktów

Cztery osoby tworzą grupę podróżujących samochodem. Prowadzą zmieniając się od czasu do czasu i każdy pokonuje odległość 24 km.
Sylwia jedzie spokojnie i rozważnie. Potrzebuje zawsze jednakowego czasu. Christine potrzebuje 6 mim mniej niż Sylwia. Michał jedzie szybciej i potrzebuje 6 min mniej niż Christine. Antoni jedzie całkowicie nieodpowiedzialnie. Potrzebuje 6 min mniej niż Michał i jest dwa razy szybszy niż Christine.

Oblicz dla każdej osoby średnią prędkość.

Zadanie 4 - Licząc

5 punktów

Maurice rysuje siedmioramienną gwiazdę. Każdemu kątowi przyporządkowuje cyfry od 0 do 13 tak, że suma czterech liczb na każdej linii jest taka sama.

Uzupełnij gwiazdę Maurica i narysuj ją w odpowiedniej formie na karcie odpowiedzi.

Zadanie 5 - W czasie

7 punktów

W dalekiej Syldawii przestrzeń powietrzna jest pilnowana przez cztery centra kontrolne. Znajdują się one w Nantsk, Klow, Lugdun i Tolsa. Żeby kontrolować pracę tych czterech centr, syldawska władza ustaliła proste zasady. Każdy samolot jest pilnowany przez te centrum, którego najbliżej się znajduje.
Odległości:
Klow - Tolsa = 600km
Klow - Lugdun = 350 km KL
Nantsk - Klow = 350 km NK
Tolsa - Lugdun = 400 km TL
Nantsk - Tolsa = 450 km NT
Zaznacz na karcie odpowiedzi te cztery centra kontrolne ( 1cm=50km).
Skonstruuj granice czterech obszarów kontrolnych i zaznacz je na kolorowo.

Zadanie 6 - Pytania Hektora

5 punktów

Hektor ma teraz 50 lat. Dowiaduje się, że średnia wieku w jego kraju wynosi 78 lat i co rok powiększa się o 2 miesiące.
W którym roku jego wiek będzie równy średniej krajowej, jeżeli średnia wieku będzie wzrastać tak jak do tej pory i czy Hektor tego dożyje?

Zadanie 7 - Odbicie ukośne

7 punktów

'Odbicie lustrzane względem osi jest powoli nudne!'- narzeka Jacques. Dlatego tak uważa, że linia łącząca punkt i jego odbicie jest zawsze prostopadła do osi. Dlaczego nie może ten kąt być inny? Proponuje wykonać odbicie symetryczne według takiej reguły:

• Linia łącząca punkt i jego odbicie symetryczne jest równoległa do pewnej prostej d.
• Oś przecina odcinek łączący punkt i jego odbicie symetryczne w połowie.

Zadanie 8 - Skoki owiec

5 punktów

Trzy czarne owce w kwadracikach powinny zmienić swoje miejsce z trzema białymi owcami. Przy czym dozwolone są tylko następujące ruchy do przodu:

• Ruch na wolny kwadracik leżący przed owcą
• Przeskok na wolny kwadracik przez jedno stojące przed nią zwierze.

Zadanie 9 - Liguryczny plaster

7 punktów

Przy wykopaliskach w okolicach Genui archeolodzy z oddziału San Frauttuoso odnaleźli posadzkę wykładaną płytami kamiennymi. Posadzka ta składa się z dwóch rodzajów kafli, które przylegają do siebie. Ilość kafli każdego rodzaju jest jednakowa.
Kafle jednego rodzaju mają kształt regularnej ośmioramiennej gwiazdy. Gwiazdę tą otrzymuje się kładąc na siebie dwa kwadraty o krawędzi długości 1dm tak, aby punkty przecięcia się ich przekątnych pokrywały się.
Kafle drugiego rodzaju wypełniają puste przestrzenie między pierwszymi tak, że powstaje zwarty parkiet. Rozmiar kafli każdego rodzaju jest jednakowy.
Wykonaj z papieru w skali 1:2 6 kafli, po 3 z każdego rodzaju. Ułóż fragment takiej posadzki i przyklej ją na karcie odpowiedzi.

Zadanie 10 - Trójkąt

10 punktów

Trójkąt równoboczny ABC ma boki długości 8 cm.
Punkty A', B', C' leżą na bokach AB, BC, AC, przy czym AA'=BB'=CC'.
Jak długi musi być odcinek AA', aby trójkąty AA'C', BB'A', CC'B' były prostokątne?
Opisz swoje postępowanie i sprawdź rozwiązanie.

Zadanie 11 - Cel uświęca

5 punktów

Mark bawi się swoim kalkulatorem. Uważa, że dla dowolnej potęgi liczby 7 może obliczyć jej dwie ostatnie cyfry.
Jakie są dwie ostatnie cyfry potęgi 7²⁰⁰³? Wyjaśnij jak można znaleźć te liczby.

Zadanie 12 - Głodny

7 punktów

Ślimak chce dojść jak najszybciej z punktu A do B. Na swojej drodze musi pokonać dach ze szkła w kształcie graniastosłupa trójkątnego. Wymiary możesz wziąć z obrazka.
Oblicz długość tej najkrótszej drogi. Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 13 - Uwaga

10 punktów

Kwadratowe okno o boku długości 1m powinno zostać oszklone tak jak pokazuje rysunek obok. Powierzchnie szklane są ograniczone przez dwie ćwiartki koła, którego środki leżą w dwóch dolnych wierzchołkach kwadratu.
Oblicz pole powierzchni każdej z czterech szklanych części.