|
|
MATEMATYKA BEZ GRANIC - EDYCJA 2001/2002
ZADANIA:
1. Gra słów
2. Liczba i cyfra
3. Kolorowy warkocz
4. Metamorfoza
5. Ostatnia kostka czekolady
6. Bilard
7. Łatwy ruch
8. Trójwymiarowe puzzle
9. Kod kreskowy
10. Formuła 1
Zadania dla klas drugich
11. Płynność czasu
12. Tocząca się zakrętka
13. Kratka na obrusie
1. GRA SŁÓW - 7 pkt.
Humorysta z Quebecu Pierre Légaré lubi słowne gierki, w których tworzy krótkie zdania prowadzące do paradoksalnych wniosków. Oto dwa przykłady:
1. ''Zawsze, kiedy prognoza pogody była zała, zawsze można było na niej polegać''
2. ''Jak mówią statystyki, jedna osoba na pięć jest niezrównoważona. Jeśli w okół ciebie są cztery osoby i wydają Ci się zrównoważone, to coś jest nie tak''.
Zanalizuj i wypowiedz się na temat przytoczonych zdań z logicznego i matematycznego punktu widzenia.
A oto jak wyglądają zadania w wersji oryginalnej:
2. LICZBA I CYFRA - 5 pkt.
Szukana jest pięciocyfrowa liczba naturalna taka, że po dopisaniu do niej jej dwukrotności otrzymamy liczbę składającą się z dziesięciu cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (cyfry nie mogą się powtarzać).
Podaj taką liczbę i uzasadnij, że posiada ona taką własność. Czy istnieje więcej takich liczb?
3. KOLOROWY WARKOCZ - 7 pkt.
Na pierwszym rysunku widzimy trzy różnokolorowe paski papieru o tych samych wymiarach. Każdy pasek ma kształt równoległoboku, którego krótszy bok ma długość 2 cm, a kąty ostre mają miarę 600.
Trzeci pasek kładziemy na drugi tak, żeby przykrywał jeden z kątów ostrych. Jeżeli złożymy po kolei te paski, jeden po drugim, to powstanie warkocz.
Spleć tym sposobem warkocz o szerokości 3 cm i długości 15 cm tak, aby był prostokątem, a widoczne powierzchnie o tym samym kolorze miały takie same pola. Naklej go na kartę odpowiedzi.
4. METAMORFOZA - 5 pkt.
Na rysunku pokazany jest podział trójkąta równobocznego wykonany przez angielskiego matematyka H. E.Dudeney (1857-1930). Z tych części trójkąta można złożyć kwadrat.
Oto opis wykonania takiego podziału :
- Skonstruuj trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8 cm.
- Wyznacz środki boków AB i AC i oznacz je odpowiednio literami I oraz J.
- Na przedłużeniu odcinka JA zaznacz punkt R, tak aby JR=JB
- Skonstruuj półkole o średnicy CR znajdujące się poza trójkątem i przecinające prostą BJ w punkcie H.
- Punkty K i L wyznacz na boku BC tak, że JK=JH i KL=JC.
- Na końcu wyznacz na boku KJ punkty M. i N tak, żeby KJ _|_ IM i KJ _|_ LN.
Wykonaj taki podział trójkąta i rozetnij go na części. Następnie złóż z nich kwadrat. Na karcie odpowiedzi umieść rysunek przedstawiający konstrukcję podziału oraz przyklej otrzymany kwadrat.
5. OSTATNIA KOSTKA CZEKOLADY - 7 pkt.
Jan i Grzegorz mają ochotę zjeść tabliczkę czekolady. Obaj są łakomczuchami, ale żaden z nich nie chce być egoistą i zjeść ostatnią kostkę.
Cała tabliczka składa się z 24 kostek. Postanawiają, że kolejno każdy z nich będzie odłamywał prostokątną część czekolady i zjadał ją. Zaczyna Jan i odłamuje takie części, że ostatnią kostkę musi zjeść Grzegorz.
Opisz jaką strategię wymyślił Jan, aby to Grzegorz na pewno wziął ostatnią kostkę.
6. BILARD - 5 pkt.
Rysunek po prawej stronie przedstawia widok stołu bilardowego z góry z zaznaczonym torem ruchu kuli bilardowej, która nie wiruje. Stół jest prostokątem o wymiarach 1,40 m. na 2,80 m. Ustawiamy kulę na środku stołu. Zagrywamy tak, aby kula uderzyła w trzy bandy, a następnie wpadła do jednej z narożnych kieszeni.
Na karcie odpowiedzi narysuj rzut stołu w skali 1:40. Skonstruuj tor ruchu kuli przy takiej zagrywce
7. ŁATWY RUCH - 7 pkt.
Rysunek pokazuje konstrukcję z listewek przymocowaną do blatu w punktach A i B. Odległość między tymi punktami wynosi 16 cm. Listewki AM i BN są połączone środkową listewką MN za pomocą nitów. Łączenia w punktach M., N oraz A, B pozwalają na wykonywanie ruchów. , punkt O znajduje się na listewce MN w odległości 2 cm od M. i 6 cm od N. Poruszając listewką MN we wszystkich możliwych kierunkach punkt O zakreśli niespodziewany kształt.
Narysuj ten kształt na karcie odpowiedzi.
8. TRÓJWYMIAROWE PUZZLE - 5 pkt.
W prostopadłościanie o wierzchołkach ABCDEFGH krawędź AE =3 cm. Czworokąt ABCD jest kwadratem o boku długości 6 cm. Punkty M., N, K, L są środkami krawędzi podstawy.
Wykonaj dwie bryły o wierzchołkach ACKNML i złóż z nich piramidę. Podaruj ją swojemu nauczycielowi.
9. KOD KRESKOWY - 7 pkt.
Kod kreskowy tworzy się z 12 cyfr podstawowych i jednej kontrolnej. Opiszemy teraz budowę takiego kodu na przykładzie tego narysowanego obok. Od lewej do prawej, dwie pierwsze cyfry określają kraj producenta. Następne 5 cyfr dotyczy samego producenta. Kolejnych 5 posłuży do określenia produktu. Ostatnia cyfra, w tym przypadku 9, jest cyfrą kontrolną. Żeby obliczyć cyfrę kontrolną mnożymy pierwsze 12 cyfr zaczynając od lewej na przemian przez 1 i 3, a wyniki dodajemy. 3*1+1*3+1*1+6*3+4*1+3*3+0*1+0*3+5*1+8*3+0*1+8*3=91 Liczba dopełniająca otrzymaną sumę do pełnych dziesiątek jest cyfrą kontrolną. Cyfra ta służy do wykrywania pomyłek czytnika. Mimo tego zabezpieczenia jest dużo takich kodów, których złe odczytanie nie zostanie wykryte, gdyż cyfra kontrolna nie zmieni się. Jest np. możliwe, że w niektórych kodach dwie sąsiadujące cyfry zostaną zamienione miejscami, a cyfra kontrolna będzie taka sama.
Znajdź wszystkie pary cyfr, które zamienione miejscami w kodzie nie zmienią cyfry kontrolnej.
10. FORMUŁA 1 - 10 pkt.
Henryk ma składaną trasę dla dwóch elektrycznych samochodzików. Każdy samochód jeździ po swoim torze, a odległość między nimi wynosi 5cm. Do budowy trasy ma do dyspozycji 10 części prostych o długości 17,5 cm i 10 zakrętów o kącie 90O z promieniem wewnętrznym 15 cm (jak na rysunku obok). Tor jest zamknięty i ułożony na płaskiej podłodze bez krzyżowania. Henryk wie, że samochód jadący na zewnętrznym torze pokonuje dłuższą drogę niż ten jadący na torze wewnętrznym. Zastanawia się, czy ta różnica jest zależna od kształtu toru.
Narysuj dwa tory w skali 1:5. Jeden najkrótszy, a drugi najdłuższy z możliwych. Policz dla obu przypadków różnice między długością toru wewnętrznego i zewnętrznego. Czy mając więcej elementów można wybudować taką trasę, w której ta różnica będzie jeszcze większa?
11. PŁYNNOŚĆ CZASU - 5 pkt.
Mamy dwa napełnione, identyczne zbiorniki. U dołu, każdy z nich ma dwa krany, jeden duży, a drugi mały. Otwierając tylko duży kran opróżnienie zbiornika trwa 30 min., a otwierając tylko mały - jedną godzinę. Płyn wypływa równomiernie i nie widzimy jaki jest jego poziom.
Jak można, tylko za pomocą tych zbiorników, odmierzyć czas 40 min?
12. TOCZĄCA SIĘ ZAKRĘTKA - 7 pkt.
Niektóre zakrętki do butelek mają kształt stożka ściętego. Zakrętka, którą widać na rysunku obok, ma mniejszą średnicę długości 3 cm i tworzącą długości 1 cm. Tocząc się zakrętka opisuje pierścień o wewnętrznym promieniu 30 cm.
Policz zewnętrzną średnicę tego pierścienia.
13. KRATKA NA OBRUSIE - 10 pkt.
Wzór obrusu znajdującego się na rysunku tworzy się z białych, ciemnych i pasiastych kwadratowych kawałeczków. Na tym obrusie Franciszek obserwuje kwadratowy fragment, który w rogach ma białe kawałeczki tzn., że liczba kwadracików znajdujących się na jednym boku jest nieparzysta. Franciszek wie, że nieparzyste liczby można zapisać jako 2n+1, gdzie n jest liczbą naturalną.
Ile kwadracików każdego typu ma obserwowany przez Franciszka fragment, jeżeli na jednym boku jest 2n+1 kwadracików? Podaj ilość białych, ciemnych oraz pasiastych kwadracików w zależności od n.
Tłumaczenie: Aleksandra Myśliwiec, Klaus-Jürgen Gentsch
Wykonanie stron www: Jacek R. Durski, Łukasz Wieczorek, Jacek Rusinek
|
|
|
|
| |
|
